GermanWikipedia - /page/entry.mu

Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Titius-Bode-Reihe</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Titius-Bode-Reihe</h1>

</header>

</div>

Die Titius-Bode-Reihe (auch titius-bodesche Reihe, bode-titiussche Beziehung, bodesche Regel und dergleichen) ist eine von <a href="Johann_Daniel_Titius" title="Johann Daniel Titius">Johann Daniel Titius</a> <a href="Empirie" title="Empirie">empirisch</a> gefundene und von <a href="Johann_Elert_Bode" title="Johann Elert Bode">Johann Elert Bode</a> bekanntgemachte numerische Beziehung, nach der sich die Abstände der meisten <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> von der <a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a> mit einer einfachen mathematischen Formel näherungsweise allein aus der Nummer ihrer Reihenfolge herleiten lassen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formel">Formel</h2></div>

Titius nahm die Zahlenfolge 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96 usw., in der nach der 3 jede Zahl das Doppelte der vorangegangenen ist, und addierte zu jeder Zahl 4. In der sich daraus ergebenden Zahlenfolge ordnete er dem <a href="Gro%C3%9Fe_Halbachse" class="mw-redirect" title="Große Halbachse">mittleren Bahnradius</a> der Erde die Zahl 10 zu und erhielt mit diesem Maß die Entfernungen aller bekannten Planeten von der Sonne.

Nach der Formulierung von Titius und Bode ergibt sich als ursprüngliche Formel:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{n}=4+3\cdot 2^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f77552a059e376842fea6f4da48df2597245846.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.306ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R_{n}=4+3\cdot 2^{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Exponent n steht, beginnend bei Merkur, für den Index der Folge <big>−∞</big>, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 usw.

Hieraus ergeben sich von Merkur bis Saturn die zugehörigen Glieder der Folge (kurz: die Zahlenfolge) 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100 …<a href="#cite_note-1">[Anm. 1]</a>

Erst in der modernen Form der Formel von <a href="Johann_Friedrich_Wurm" title="Johann Friedrich Wurm">Johann Friedrich Wurm</a> aus dem Jahr 1787 ist a der mittlere Abstand eines Planeten von der Sonne, der an der mittleren Entfernung der Erde in <a href="Astronomische_Einheit" title="Astronomische Einheit">Astronomischen Einheiten</a> gemessen wird:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}=0{,}4+0{,}3\cdot 2^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cd1a6807ed7f9ef60008dcd22ba02c3cd63defc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.391ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{n}=0{,}4+0{,}3\cdot 2^{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vergleich_mit_Messwerten">Vergleich mit Messwerten</h2></div>

<th>Planet

</th>

<th>n

</th>

<th>Abstand nach T-B

</th>

<th>Wirklicher Abstand (AE)

</th>

<th>Abweichung

</th></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;"><a href="Merkur_(Planet)" title="Merkur (Planet)">Merkur</a></td>

</td>

<td>0,4

</td>

<td>(0,39)

</td>

<td>(+ 2,56 %)

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;"><a href="Venus_(Planet)" title="Venus (Planet)">Venus</a></td>

<td>0

</td>

<td>0,7

</td>

<td>(0,72)

</td>

<td>(− 2,78 %)

</td></tr>

<tr>

<td>1

</td>

<td>1,0

</td>

<td>(1,00)

</td>

<td>(0,00 %)

</td></tr>

<tr>

<td>2

</td>

<td>1,6

</td>

<td>(1,52)

</td>

<td>(+ 5,26 %)

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;">(<a href="(1)_Ceres" title="(1) Ceres">Ceres</a>)</td>

<td>3

</td>

<td>2,8

</td>

<td>(2,77)

</td>

<td>(+ 1,08 %)

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;"><a href="Jupiter_(Planet)" title="Jupiter (Planet)">Jupiter</a></td>

<td>4

</td>

<td>5,2

</td>

<td>(5,20)

</td>

<td>(0,00 %)

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;"><a href="Saturn_(Planet)" title="Saturn (Planet)">Saturn</a></td>

<td>5

</td>

<td>10,0

</td>

<td>(9,54)

</td>

<td>(+ 4,82 %)

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;"><a href="Uranus_(Planet)" title="Uranus (Planet)">Uranus</a></td>

<td>6

</td>

<td>19,6

</td>

<td>(19,19)

</td>

<td>(+ 2,14 %)

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;"><a href="Neptun_(Planet)" title="Neptun (Planet)">Neptun</a>

</td>

<td>–

</td>

<td>–

</td>

<td>(30,06)

</td>

<td>(–)

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left;">(<a href="Pluto" title="Pluto">Pluto</a>)</td>

<td>7

</td>

<td>38,8

</td>

<td>(39,48)

</td>

<td>(− 1,72 %)

</td></tr>

<tr>

<td>8

</td>

<td>77,2

</td>

<td>(67,7)

</td>

<td>(+ 14,00 %)

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

Die Regel stimmt zumeist bis auf wenige Prozent mit den tatsächlichen Verhältnissen überein. Allerdings gibt es einige Unstimmigkeiten:

<ul><li>Für Merkur müsste der Wert n gemäß der übrigen Folge nicht −∞, sondern −1 sein, was einen Abstand von 0,55 AE ergäbe.</li>

<li>Zwischen Mars und Jupiter befindet sich der <a href="Asteroideng%C3%BCrtel" title="Asteroidengürtel">Asteroidengürtel</a>. Der größte Körper hierin ist die <a href="(1)_Ceres" title="(1) Ceres">Ceres</a>, die kein Planet, sondern ein <a href="Zwergplanet" title="Zwergplanet">Zwergplanet</a> ist.</li>

<li>Neptun hat keinen Platz in dieser Reihe. Bei Neptun wird aber die Möglichkeit diskutiert, dass er ursprünglich an anderer Stelle im Sonnensystem entstand und durch Wechselwirkung mit den anderen Planeten oder mit großen am Sonnensystem vorbeiziehenden Objekten an seine heutige Stelle wanderte (siehe Abschnitt <a href="Neptun_(Planet)#Entstehung_und_Migration" title="Neptun (Planet)">Entstehung und Migration</a> im Artikel zu Neptun)</li>

<li>Der Zwergplanet Pluto hat im Gegensatz zu den Planeten eine stark exzentrische Bahn mit einem Sonnenabstand zwischen 29,7 und 49,3 <a href="Astronomische_Einheit" title="Astronomische Einheit">AE</a>. Diese Differenz entspricht etwa dem Durchmesser der Saturnbahn oder dem Abstand des Uranus zur Sonne, insofern ist der Wert der Vorhersage der Titius-Bode-Reihe für den mittleren Bahnradius des Pluto noch geringer als bei den übrigen Planeten.</li>

<li><a href="(136199)_Eris" title="(136199) Eris">Eris</a> ist ein Zwergplanet wie Ceres und Pluto, passt aber im Gegensatz zu diesen nicht so gut in die Reihe.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Bereits <a href="Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Johannes Kepler</a> suchte geometrische Beziehungen für Planeten und ihre Bahnen. In seinem 1596 veröffentlichten Buch <a href="Johannes_Kepler#Mysterium_Cosmographicum" title="Johannes Kepler">Mysterium cosmographicum</a> setzte Kepler die Bahnen der damals bekannten Planeten Merkur bis Saturn als Querschnitt von Kugelschalen mit der Oberfläche der fünf <a href="Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">platonischen Körper</a> in Beziehung. Zwischen den ineinander verschachtelten Bahnsphären der sechs Planeten passten nach einigen Korrekturen die einzelnen Oberflächen der fünf platonischen Körper je nach ihrer Form als Abstandshalter gerade so hinein. In seinem 1619 erschienenen Werk <a href="Harmonice_mundi" class="mw-redirect" title="Harmonice mundi">Harmonice mundi</a> („Weltharmonik“) entwickelte er diese Theorie weiter.

<a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> erklärte 1692 die Lücke zwischen Mars und Jupiter durch die göttliche Vorhersehung, die großen Planeten hätten sonst die Bahnen der Kleinen nahe der Sonne stark gestört.<a href="#cite_note-2">[1]</a>

<a href="David_Gregory_(Mathematiker)" title="David Gregory (Mathematiker)">David Gregory</a> veröffentlichte in seinem verbreiteten Astronomielehrbuch The Elements of Astronomy (lateinisch zuerst 1702, englisch zuerst 1715 erschienen) für die durchschnittlichen Abstände der bekannten Planeten eine Zahlenreihe, nach der sich der mittlere Bahnradius der Erde aus zehn Einheiten zusammensetzt und sich für die Planeten Merkur bis Saturn die Werte 4, 7, 10, 15, 52 und 95 ergeben. Das wurde vom Philosophen <a href="Christian_Wolff_(Aufkl%C3%A4rer)" title="Christian Wolff (Aufklärer)">Christian Wolff</a> ohne Herkunftsangabe in sein zuerst 1724 veröffentlichtes Buch Vernünfftige Gedanken von den Absichten der natürlichen Dinge aufgenommen.

<a href="Johann_Heinrich_Lambert" title="Johann Heinrich Lambert">Johann Heinrich Lambert</a> sah 1761 die Ursache der Lücke zwischen Mars und Jupiter in der großen gravitativen Wechselwirkung von Jupiter und Saturn, die einen dort möglicherweise früher vorhandenen Planeten in seiner Bahn destabilisiert hätten.

1766 entwarf Johann Daniel Titius eine Formel mit einer fast gleichen Abstandsreihe wie David Gregory. Johann Elert Bode fand sie in einer Fußnote in dem – durch Titius übersetzten – weit verbreiteten Buch Contemplation de la nature von <a href="Charles_Bonnet" title="Charles Bonnet">Charles Bonnet</a> und hat sie im Jahr 1772 in seiner Anleitung zur Kenntnis des gestirntes Himmels allgemein bekannt gemacht. Dabei erwähnte er Titius zunächst nicht, holte das aber später nach.

In der Formulierung von Titius<a href="#cite_note-3">[2]</a>:

<dl><dd>„Gebet einmal auf die Weite der Planeten von einander Achtung; und nehmet wahr, daß sie fast alle in der Proportion von einander entfernt sind, wie ihre körperlichen Größen zunehmen. Gebet der Distanz von der Sonne bis zum Saturn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 100}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0572cd017c6d7936a12737c9d614a2f801f94a36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 100}" loading="lazy"> Theile, so ist Mercurius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4}" loading="lazy"> solcher Theile von der Sonne entfernt, Venus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4+3=7}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4+3=7}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/165cde0b2f4aec3061a05347747dd4db611d7329.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4+3=7}" loading="lazy">, die Erde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4+6=10}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4+6=10}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee3449c2cabfff827a7dbbc00e0ff10917bf5a1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.589ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4+6=10}" loading="lazy">, Mars <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4+12=16}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4+12=16}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba241cf2e892beb322543daed5eb7ea91d6934ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.751ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4+12=16}" loading="lazy">. Aber sehet, vom Mars bis zum Jupiter kömmt eine Abweichung von dieser so genauen Progression vor. Vom Mars folgt ein Raum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4+24=28}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4+24=28}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0289df789b5a4be9237108ef2a862b071d3b56d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.751ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4+24=28}" loading="lazy"> solcher Theile, darinn weder ein Haupt- noch ein Nebenplanete zur Zeit gesehen wird. Und der Bauherr sollte diesen Raum ledig gelassen haben ? Nimmermehr ! Lasset uns zuversichtlich setzen, daß dieser Raum sonder Zweifel den bisher unentdeckten Trabanten des Mars zugehöre; laßt uns hinzuthun, daß vielleicht auch Jupiter noch etliche um sich habe, die bis itzt noch mit keinem Glase gesehen werden. Von diesem, uns unbekannten Raume erhebt sich Jupiters Wirkungskreis in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4+48=52}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4+48=52}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d0f25a1148dd3df13baab2313e30840333938cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.751ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4+48=52}" loading="lazy"> und Saturnus seiner, in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4+96=100}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4+96=100}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eae573142f9d88a73dcb8b9f7f9fb7a2858c83a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.914ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4+96=100}" loading="lazy"> solcher Theile. Welches bewunderungswürdige Verhältniß !“</dd></dl>

Die Werte sind nicht genau dieselben wie bei Wolff oder Gregory (die wiederum auch nicht völlig genau den damals bekannten Beobachtungswerten entsprachen, veröffentlicht etwa bei <a href="William_Whiston" title="William Whiston">William Whiston</a>), aber wie Titius in der vierten Auflage der Übersetzung schrieb, hatte er sie zuerst von Wolff.<a href="#cite_note-4">[3]</a>

Die zufällige Entdeckung des Uranus 1781 durch <a href="Wilhelm_Herschel" title="Wilhelm Herschel">Wilhelm Herschel</a>, der ihn zunächst für einen Nebel oder Kometen hielt, bedeutete eine Bestätigung dieser Regel und ließ sie für alle damals bekannten Planeten als <a href="Physikalisches_Gesetz" title="Physikalisches Gesetz">Gesetz</a> erscheinen. Viele Astronomen suchten nun nach einem Planeten in der Lücke zwischen Mars und Jupiter, beginnend mit <a href="Franz_Xaver_von_Zach" title="Franz Xaver von Zach">Franz Xaver von Zach</a> (ab 1787), dem Hofastronomen in Gotha. 1788 trafen sich sechs Astronomen, darunter Zach und <a href="Heinrich_Wilhelm_Olbers" title="Heinrich Wilhelm Olbers">Heinrich Wilhelm Olbers</a>, in Lilienthal bei Bremen, was den Keim für ein europaweites Beobachternetz zur Suche nach dem fehlenden Planeten lieferte. In der Nacht zum 1. Januar 1801 spürte eines der Mitglieder dieses Beobachtungsnetzwerks, <a href="Giuseppe_Piazzi" title="Giuseppe Piazzi">Giuseppe Piazzi</a>, in Palermo einen <a href="Himmelsk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Himmelskörper">Himmelskörper</a> auf, den man dieser Entfernung zuordnen konnte. Es war der <a href="Asteroid" title="Asteroid">Asteroid</a> <a href="(1)_Ceres" title="(1) Ceres">Ceres</a>, der erste entdeckte Kleinplanet und der mit Abstand größte dieser (auch Planetoiden genannten) Körper, der zusammen mit dem ganzen Asteroidengürtel diese Lücke schloss. Seit August 2006 hat Ceres den neuen Status eines <a href="Zwergplanet" title="Zwergplanet">Zwergplaneten</a>. Piazzi selbst war lange im Zweifel, ob es sich nicht doch um einen Kometen handelte (mit einer Parabel als Bahn in erster Näherung). <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a> berechnete aber die elliptische Planetenbahn für Ceres so, dass Zach ihn Ende des Jahres 1801 wiederfinden konnte. Das war zum einen ein Triumph für den jungen Gauß auf dem klassischen mathematischen Gebiet der Himmelsmechanik, der damals außerdem gerade sein epochales Zahlentheorie-Lehrbuch <a href="Disquisitiones_Arithmeticae" title="Disquisitiones Arithmeticae">Disquisitiones Arithmeticae</a> veröffentlichte, und bedeutete gleichzeitig, dass Ceres kein Komet war. Gauß hielt im Übrigen das Gesetz von Titius-Bode nur für eine zufällige Koinzidenz.<a href="#cite_note-5">[4]</a> William Herschel fand noch im selben Jahr heraus, dass Ceres kleiner als die bekannten Planeten war. 1804 wurden mit Juno und 1807 mit Vesta (durch Olbers) weitere Kleinplaneten im Asteroidengürtel gefunden.

Als 1846 aber der Planet Neptun entdeckt wurde, passte dieser überhaupt nicht in die Titius-Bode-Reihe. Das offensichtliche Versagen des Gesetzes führte nun dazu, dass die Astronomen solchen Zahlenspielereien skeptisch begegneten, zum Beispiel bei der Analogie von <a href="Daniel_Kirkwood" title="Daniel Kirkwood">Daniel Kirkwood</a> (1849). <a href="Charles_Sanders_Peirce" title="Charles Sanders Peirce">Charles Sanders Peirce</a> sah in der Regel gegen Ende des 19. Jahrhunderts ein Beispiel für Denkfehler in den Wissenschaften.<a href="#cite_note-6">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hegel">Hegel</h2></div>

Eine weit verbreitete Anekdote behauptet, <a href="Georg_Wilhelm_Friedrich_Hegel" title="Georg Wilhelm Friedrich Hegel">Georg Wilhelm Friedrich Hegel</a> habe in seiner Dissertation 1801 mit Hilfe einer geometrischen Reihe, die er statt der Titius-Bode-Reihe vorschlug, behauptet, bewiesen zu haben, dass es keinen Planeten zwischen Mars und Jupiter gäbe; und dies im selben Jahr, als Piazzi Ceres entdeckte und Hegel somit widerlegt hätte. Das ist noch lange danach von Astronomen und anderen benutzt worden, um Hegel lächerlich zu machen. Hegel ist aber später von anderen Astronomen in Schutz genommen worden.<a href="#cite_note-7">[6]</a><a href="#cite_note-8">[7]</a> In dem kurzen Anhang zu seiner Dissertation behauptete er nicht, gezeigt zu haben, dass kein Planet in dieser Lücke existiert (und Ceres erwies sich ja auch später nur als Kleinplanet mit zahlreichen weiteren Asteroiden in diesem Bereich), sondern kritisierte nur die damaligen Bemühungen der Astronomen, aufgrund einer rein spekulativen mathematischen Formel, der Titius-Bode-Formel, dort nach einem Planeten zu suchen. Als Begründung konstruierte er eine eigene Reihe ohne einen Planeten in dieser Lücke, die auf einer geometrischen Reihe in Platons Dialog <a href="Timaios" title="Timaios">Timaios</a> basierte, gleichsam als Beispiel, wie leicht man solche Hypothesen aufstellen könne.<a href="#cite_note-9">[8]</a><a href="#cite_note-10">[9]</a><a href="#cite_note-11">[10]</a>

Hegel ging von den beiden bei Plato zu findenden Folgen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,2,4,8}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,2,4,8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3090108b2c3acdcfdd134dfc42686b4cfb50e0d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.752ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,2,4,8}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,3,9,27}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,3,9,27}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0715b5ac1b6644613150e0c6bba78c08193ac9de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.914ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,3,9,27}" loading="lazy"> aus (also <a href="Geometrische_Folge" title="Geometrische Folge">geometrischen Folgen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/193abd21d79ceb2992929ab3b3a1ee97d2afb6a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3^{n}}" loading="lazy">), die zusammengefasst die Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,2,3,4,8,9,27}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,2,3,4,8,9,27}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4e3d2943546e08db45e7cce0fa847de90db50ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.503ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,2,3,4,8,9,27}" loading="lazy"> ergeben (die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 27}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 27}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c89455d53868bd9b952932246fe41aaf82e3f77e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 27}" loading="lazy"> bildet einen gewissen Abschluss, da sie Summe der vorangehenden Zahlen ist). Da 8 und 9 eng beieinander liegen, ersetzt er ohne genauere Begründung 8 durch 16 (dem nächsten Folgenglied in der ersten Folge von Zweierpotenzen nach 8), so dass die Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,2,3,4,9,16,27}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,2,3,4,9,16,27}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a8091d4e559a38c5720d834225760059563c7ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,2,3,4,9,16,27}" loading="lazy"> entsteht. Wichtig ist ihm der große Abstand zwischen 4 und 9, da der gerade den in der Titius-Bode-Reihe vorhergesagten Ort eines unbekannten Planeten überbrückt. Danach ersetzt er als Skalierung der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{\frac {1}{3}}\approx 1{,}44}">

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{\frac {1}{3}}\approx 1{,}44}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3a4f81f9d131c47bfd0320efe166d1f1ac0ced4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.131ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle 3^{\frac {1}{3}}\approx 1{,}44}" loading="lazy"> (Merkur) und die übrigen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\frac {4}{3}}}">

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\frac {4}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/777ed08cc1ec4f2bd2c3d8427b32b15c9e9a40bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.065ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle x^{\frac {4}{3}}}" loading="lazy">. Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}" loading="lazy"> wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2{,}5}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5455ac0c28000003f84ef90f5d0d51b329e7aa52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2{,}5}" loading="lazy"> und dann für die übrigen Folgenglieder: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4{,}3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4{,}3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f8f4688b9c5fd6d275d087177b8e03830cf97f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 4{,}3}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}" loading="lazy">), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6{,}34}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6{,}34}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4dbc794c6af34c85a79d8d87531cf3d3a91a479.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 6{,}34}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4}" loading="lazy">), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 18{,}7}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 18{,}7}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda41f332528b81c54e445b14f470e43961d06fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 18{,}7}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 9}" loading="lazy">), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 40{,}3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 40{,}3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65477f7ebd62f87af7fcc2dcb5763b4e63842a6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 40{,}3}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 16}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 16}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 16}" loading="lazy">) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 81}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 81}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5dd0d669be9acefe32df36db4fae87c7752248.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 81}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 27}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 27}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c89455d53868bd9b952932246fe41aaf82e3f77e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 27}" loading="lazy">). Hegel selbst gibt als Ergebnis an: Merkur 1,4, Venus 2,56, Erde 4,37, Mars 6,34, Jupiter 18,75, Saturn 40,34, Uranus 81. Es ergibt sich also eine Reihe ohne Lücke zwischen Jupiter und Mars. Dividiert man diese Werte durch den Abstandswert der Erde, erhält man in Astronomischen Einheiten (AE): 0,32 (Merkur), 0,58 (Venus), 1 (Erde), 1,45 (Mars), 4,3 (Jupiter), 9,2 (Saturn), 18,5 (Uranus). Danach untersucht er auch noch kurz die Verhältnisse bei den Satelliten von Jupiter und Saturn.

Hegel akzeptierte aber die neu entdeckten Kleinplaneten in seinen Vorlesungen über Naturphilosophie und reihte sie unter die Planeten ein.<a href="#cite_note-12">[11]</a>

Nach einer neuen Interpretation hatte Hegel für den Planeten-Anhang keine ernsthaften Theorieabsichten, sondern versuchte vielmehr sich über die apriorische Astrophysik seiner Zeit lustig zu machen, indem er u. a. die Witz-Definition <a href="Christian_Wolff_(Aufkl%C3%A4rer)" title="Christian Wolff (Aufklärer)">Christian Wolffs</a> für sich nutzbar machte.<a href="#cite_note-13">[12]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Interpretation_und_Kontroverse">Interpretation und Kontroverse</h2></div>

Eine verbreitete Meinung ist, die Titius-Bode-Reihe passe nur für die inneren Planeten, versage bereits beim Asteroidengürtel und gelte spätestens seit der Entdeckung des Planeten Neptun als überholte Zahlenspielerei. Es ist bisher kein physikalischer Mechanismus bekannt, der eine bestimmte Reihe von Abständen der Planeten erzeugt.

Aufschlussreicher für die <a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">himmelsmechanische</a> Organisation des Planetensystems ist die Betrachtung der Umlaufzeiten. Die Umlaufperioden der jeweils benachbarten Planeten befinden sich zueinander in Kommensurabilität; das heißt, sie stehen in einem Verhältnis, das auf einem gemeinsamen Maß beruht und sich – teils annähernd, teils ziemlich exakt – durch Brüche mit kleinen ganzen Zahlen im Zähler und Nenner ausdrücken lässt (siehe Tabelle rechts).

<caption>Die gerundeten (und genauen) Verhältnisse zwischen den Umlaufzeiten der Planeten

</caption>

<td>Merkur

</td>

<td>

</td>

<td>2:5

</td>

<td>(2:5,11)

</td>

<td>

</td>

<td>Venus

</td></tr>

<tr>

<td>Venus

</td>

<td>

</td>

<td>8:13

</td>

<td>(8:13,004)

</td>

<td>

</td>

<td>Erde

</td></tr>

<tr>

<td>Erde

</td>

<td>

</td>

<td>1:2

</td>

<td>(1:1,88)

</td>

<td>

</td>

<td>Mars

</td></tr>

<tr>

<td>Mars

</td>

<td>

</td>

<td>2:5

</td>

<td>(2:4,89)

</td>

<td>

</td>

<td>(Ceres)

</td></tr>

<tr>

<td>(Ceres)

</td>

<td>

</td>

<td>2:5

</td>

<td>(2:5,15)

</td>

<td>

</td>

<td>Jupiter

</td></tr>

<tr>

<td>Jupiter

</td>

<td>

</td>

<td>2:5

</td>

<td>(2:4,97)

</td>

<td>

</td>

<td>Saturn

</td></tr>

<tr>

<td>Saturn

</td>

<td>

</td>

<td>1:3

</td>

<td>(1:2,85)

</td>

<td>

</td>

<td>Uranus

</td></tr>

<tr>

<td>Uranus

</td>

<td>

</td>

<td>1:2

</td>

<td>(1:1,96)

</td>

<td>

</td>

<td>Neptun

</td></tr>

<tr>

<td>Neptun

</td>

<td>

</td>

<td>2:3

</td>

<td>(2:3,01)

</td>

<td>

</td>

<td>(Pluto)

</td></tr>

</tbody></table>

Solche <a href="Bahnresonanz" title="Bahnresonanz">Resonanzen</a> (Near Mean Motion Resonance, NMMR) finden sich auch bei Betrachtung der Umlaufzeiten von Monden um Planeten. Es gibt störende und stabilisierende Resonanzen je nach Verhältnis der Umlaufzeiten. So gesehen beruht der Erfolg der Titius-Bode-Reihe im Allgemeinen auf den kommensurablen Umlaufverhältnissen und im Einzelnen auf dem empirischen Zurechtbiegen der einheitlichen Formel, um alle unterschiedlichen Verhältnisse möglichst genau zu erfassen.

Bei neueren Anwendungen wie bei den Exoplaneten werden verallgemeinerte Titius-Bode-Gesetze benutzt, von Timothy Bovaird<a href="#cite_note-14">[13]</a> zum Beispiel von der Form:<a href="#cite_note-15">[14]</a><a href="#cite_note-16">[15]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}=a\cdot C^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7f3be54a3447e809fb1975a4d688722cc443fbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.472ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{n}=a\cdot C^{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> der großen Halbachse für den n-ten Planeten, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0,1,2,3,...}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0,1,2,3,...}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ea32c183224e0f0a0145e51f4942139fe481a4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.993ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=0,1,2,3,...}" loading="lazy"> und den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e7456b8046dea86c08bdb3072f151c0d0b0aca5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,C}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> der großen Halbachse des ersten Planeten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy"> angepasst wird. Als partielle Erklärung wird angegeben, dass aufgrund des dritten Keplerschen Gesetzes (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{n}\sim a_{n}^{\frac {3}{2}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{n}\sim a_{n}^{\frac {3}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4721d6c2fe721419ae2e67d025957f48de9537c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.64ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle T_{n}\sim a_{n}^{\frac {3}{2}}}" loading="lazy">) dann eine ebensolche Abhängigkeit für die Umlaufperioden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d9241493be76739f2400f258f32c24f9689161f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.576ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{n}}" loading="lazy"> folgt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{n}=\alpha \cdot D^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7075d91fc239e5c70f6b2dc25c32dceba8965d36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.984ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T_{n}=\alpha \cdot D^{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=C^{\frac {3}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fd39766ac8c05cc6aca85f643466c45b8bb99ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.556ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle D=C^{\frac {3}{2}}}" loading="lazy"> und damit ein Verhältnis der Umlaufzeiten für benachbarte Planeten:

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}=D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b02246f41cedbf1346767ab19768e2e4bf9064f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:10.535ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}=D}" loading="lazy"></dd></dl>

Das würde einem System entsprechen, in dem die Werte der Resonanzverhältnisse einem einzigen Wert entsprechen und ein Titius-Bode-Gesetz umso besser die Realität beschreibt, je weniger die Werte um einen Hauptwert streuen. Im Sonnensystem liegt dieser bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {5}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {5}{2}}}</annotation>

</semantics>

Simulationen zur Entstehung von Planetensystemen zeigen die Präferenz für bestimmte Resonanzverhältnisse wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {5}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {5}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4039b80b9a1494daa03a72cb69edf66cf0a41044.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:1.999ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {5}{2}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {3}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {3}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff4d39a9f7beda4ddbeffafaca691c386d3142cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:1.999ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {3}{2}}}" loading="lazy"> zwischen den Umlaufzeiten benachbarter Planeten, die somit besonders stabil sind (Hills 1970).<a href="#cite_note-17">[16]</a> Dies ist umso deutlicher, je größer die Wechselwirkung benachbarter Planeten bei ihrer Entstehung ist. <a href="Jacques_Laskar" title="Jacques Laskar">Jacques Laskar</a> (2000)<a href="#cite_note-18">[17]</a> simulierte ein System von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{5}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7310d2ac4ddefd259b8a2c7c8fb89c6a9ea11a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 10^{5}}" loading="lazy"> Planetesimalen und fand, dass sich für radiale Anfangs-Oberflächendichten der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma (r)\sim r^{-{\frac {3}{2}}}}">

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma (r)\sim r^{-{\frac {3}{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb1d21676b16ffbd3a2982b911eaa969df9e999e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.697ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \Sigma (r)\sim r^{-{\frac {3}{2}}}}" loading="lazy"> (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> dem Radius) Reihen vom Titius-Bode-Typ ergaben. Diese Dichteverteilung ergab sich auch im Minimum-Mass-Solar-Nebula-Modell (MMSN-Modell) der Entstehung des Sonnensystems (C. Hayashi 1981<a href="#cite_note-19">[18]</a>, S. J. Weidenschilling 1977<a href="#cite_note-20">[19]</a>).

Statistische Versuche zeigten aber auch, dass sich an ein hypothetisches Planetensystem fast immer eine einfache Formel anpassen lässt, wenn man ähnliche Abweichungen wie bei der Titius-Bode-Folge zulässt. Diese Reihen sind zumeist für jedes System anders. Sie ergeben Zahlenspielereien, die noch kein neues himmelsmechanisches Gesetz aufdeckten.

Unter der Annahme, dass es sich bei der Titius-Bode-Reihe nicht um Zufall oder nur um einen statistischen Effekt handelt, stellte man Hypothesen für die oben genannten Ausnahmen auf. Man vermutete in Objekten des Asteroidengürtels Bruchstücke eines ehemaligen Planeten, der in die wissenschaftlich-fantastische Literatur unter dem Namen <a href="Phaeton_(Planet)" title="Phaeton (Planet)">Phaeton</a> einging. Spätere Untersuchungen zeigten, dass die Gesamtmasse aller Asteroiden nur etwa fünf Prozent der Masse des <a href="Mond" title="Mond">Erdmondes</a> beträgt und dass viele der Kleinkörper eher aus verschiedenen, einst größeren Asteroiden hervorgingen. Heute wird überwiegend die Ansicht vertreten, dass der Asteroidengürtel direkt aus dem Staub des planetaren Nebel entstand. Die Weiterentwicklung zu einem regulären Planeten wurde aber durch Jupiters gravitative Wirkung verhindert. Im Asteroidengürtel finden sich verschiedene Lücken (<a href="Kirkwoodl%C3%BCcke" title="Kirkwoodlücke">Kirkwoodlücke</a>), in denen die Resonanzverhältnisse mit Jupiter zur Destabilisierung führten. Eine andere Hypothese besagt, dass ein nahe vorbeiziehendes, massereiches Objekt die Umlaufbahnen von Neptun und Pluto verändert haben könne.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_der_Titius-Bode-Reihe_auf_extrasolare_Planetensysteme">Anwendung der Titius-Bode-Reihe auf extrasolare Planetensysteme</h2></div>

Als Astronomen um Tim Bovaird an der <a href="Australian_National_University" title="Australian National University">Australian National University</a> in Canberra 27 extrasolare Planetensysteme analysierten<a href="#cite_note-21">[20]</a>, fiel auf, dass diese der Titius-Bode-Formel zumeist genauer folgen als Himmelskörper in unserem Planetensystem – zu fast 96 %. Von 27 untersuchten Systemen sind bei 22 die Planeten gemäß der Titius-Bode-Regel aufgereiht. In drei Fällen passt die Titius-Bode-Regel nicht. Das Sonnensystem ist sehr ausgedehnt. Dagegen sind jene 27 Systeme viel kompakter. Darin umrunden mitunter vier oder fünf Planeten den Zentralstern innerhalb der Merkurbahn.

Da mit Hilfe der Titius-Bode-Reihe aus der Umlaufbahn die Umlaufdauer und die maximale Größe möglicher Nachbarplaneten folgt, sagten die Astronomen die Umlaufbahn eines unbekannten Planeten im Sternensystem KOI 2722 voraus. Zwei Monate später fand man diesen Exoplaneten mit dem <a href="Kepler_(Weltraumteleskop)" title="Kepler (Weltraumteleskop)">Weltraumteleskop „Kepler“</a>.<a href="#cite_note-22">[21]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Liste_der_Entdeckungen_der_Planeten_und_ihrer_Monde" title="Liste der Entdeckungen der Planeten und ihrer Monde">Liste der Entdeckungen der Planeten und ihrer Monde</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Michael Martin Nieto: The Titius-Bode law of planetary distances: its history and theory, Oxford: Pergamon Press 1972</li>

<li>Günther Wuchterl: Die Ordnung der Planetenbahnen, <a href="Sterne_und_Weltraum" title="Sterne und Weltraum">Sterne und Weltraum</a>, Teil 1, Heft 6, 2002, Teil 2, Heft 12, 2002</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070707153202/http://www.astro.uni-bonn.de/~willerd/4planets.pdf">E. Willerding: Betrachtungen zum Aufbau und zur Entstehung des Planetensystems</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 7. Juli 2007 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>). (PDF)</li>

<li>Ramon Parés: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://media.wix.com/ugd/61b5e4_d5cf415763b44680806a8431ba375db2.pdf">Distancias planetarias y Ley de Titius-Bode.</a> (spanisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140128122231/http://milan.milanovic.org/math/english/kepler/kepler.html">milan.milanovic.org: Titius-Bode Law</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 28. Januar 2014 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.astropa.unipa.it/versione_inglese/Hystory/BODE'S_LAW.htm">Michael Hoskin, Bode’s law and the discovery of Ceres</a>, Osservatorio Astronomico di Palermo Giuseppe S. Vaiana</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.astropa.unipa.it/versione_inglese/Hystory/BODE'S_LAW.htm#1a">Hoskin, Bode’s law and the discovery of Ceres</a>, Observatorium Palermo. Er bezieht sich auf Newtons Brief am Bentley vom 2. Dezember 1692.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Betrachtungen über die Natur von Herrn Karl Bonnet, Leipzig 1774, Band 1, S. 9, Fußnote, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10074904_00131.html">Digitalisat 1</a>, Digitalisat 2

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Hoskin, Bode´s law and the discovery of Ceres.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Margaret Wertheim, Physics on the Fringe, Walker Books 2011

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Margaret Wertheim, Physics on the Fringe, 2011

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> E. Craig, M. Hoskin, Hegel and the seven planets, Journal of the History of Astronomy, Band 23, 1992, S. XXIII, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://adsabs.harvard.edu/full/1992JHA....23..208C">Online</a>

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Dieter_B._Herrmann" title="Dieter B. Herrmann">Dieter B. Herrmann</a>, Hegels Dissertation und die Siebenzahl der Planeten, Sterne und Weltraum. Kontroversen und Legenden um einen vermeintlichen Irrtum. Sterne und Weltraum, Band 31, 1992, S. 688–691

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Dissertation von Hegel: De orbis planetarum, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10916103_00038.html">Digitalisat Bayerische Staatsbibliothek</a>

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Siehe auch <a href="Thomas_S%C3%B6ren_Hoffmann" title="Thomas Sören Hoffmann">Thomas Sören Hoffmann</a>, Georg Wilhelm Friedrich Hegel. A Propaedeutic, Brill, 2015, S. 103f

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Ebenso <a href="Walter_Jaeschke" title="Walter Jaeschke">Walter Jaeschke</a> / <a href="Andreas_Arndt" title="Andreas Arndt">Andreas Arndt</a>, Die klassische deutsche Philosophie nach Kant. Systeme der reinen Vernunft und ihre Kritik 1785–1845. C.H. Beck, 2012, S. 561

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Bertrand Beaumont, Hegel and the seven planets, in: Jon Stewart, The Hegel myths and legends, Northwestern University Press, 1996, S. 285–288

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Jörg Hüttner: <cite style="font-style:italic">Hegel im witzigen Kontext. – Buchnotiz zu: Georg Wilhelm Friedrich Hegel, Dissertatio philosophica de orbitis planetarum […].</cite> In: <cite style="font-style:italic">Philosophische Rundschau</cite>. Band 70, Nr. 3, 2023, S. 367–375.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Titius-Bode-Reihe&rft.atitle=Hegel+im+witzigen+Kontext.+-+Buchnotiz+zu%3A+Georg+Wilhelm+Friedrich+Hegel%2C+Dissertatio+philosophica+de+orbitis+planetarum+%5B%E2%80%A6%5D.&rft.au=J%C3%B6rg+H%C3%BCttner&rft.date=2023&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Philosophische+Rundschau&rft.pages=367-375&rft.volume=70" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Timothy Bovaird, Charles Lineweaver, Exoplanet predictions based on the generalized Titius–Bode relation, Monthly Notices Royal Astron. Soc., Band 435, 2013, S. 1126–1139, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1304.3341">Arxiv</a>

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> P. Goldreich, An explanation of the frequent occurence of commensurable mean motions in the solar system, Monthly Notices Roy. Astron . Soc., Band 1, 1965

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> S. F. Dermott, On the origin of commensurabilities in the solar system, Monthly Notices Roy. Astron. Soc., Band 141, 1968, S. 349, 363

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> J. G. Hills, Dynamical relaxations of planetary systems and Bode’s law, Nature, Band 225, 1970, S. 840

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> J. Laskar, On the spacing of planetary systems, Phys. Rev. Lett., Band 84, 2000, S. 3240

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Hayashi, Progress of Theoretical Physics, Suppl, Band 70, 1981, 35

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Weidenschilling, Monthly Notices Roy. Astron. Soc., Band 180, 1977, S. 57

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Timothy Bovaird, Charles Lineweaver, Exoplanet predictions based on the generalized Titius–Bode relation, Monthly Notices Royal Astron. Soc., Band 435, 2013, S. 1126–1139, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1304.3341">Arxiv</a>

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Guido Meyer: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.welt.de/wissenschaft/weltraum/article130424690/Planetenformel-irrer-Zufall-oder-Naturgesetz.html">Planetenformel – irrer Zufall oder Naturgesetz?</a> (abgerufen am 22. Juli 2014)

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Genau genommen handelt es sich im Falle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle n\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle n\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3780ec7ecdf1861b9cc2267bd71deff632e676b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.141ex; height:2.176ex;" alt="{\textstyle n\to -\infty }" loading="lazy"> nicht um den Wert, sondern um den <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a> der Folge.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4185580-2">4185580-2</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-09-19" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Titius-Bode-Reihe&oldid=259868089">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>